Laplace-ova transformacija

Da bi se proširila klasa signala čiju je frekvencijsku reprezentaciju moguće definisati preko matematičkih funkcija uvedena je Laplace-ova transformacija, isto tako, u  analizi i sintezi sistema uopšte, pojavljuje se problem rešavaja diferencijalnih jednačina.  Analiza ponašanja linearnih dinimičkih sistema sa koncetrisanim i vremenskim nepromenljivim parametima se svodi na problem rešavanja  odgvarajućeg sistema linearnih diferencijalnih jed. sa konstantnim koeficijentima. Rešavanje ovih jednačina se pojednostavljuje primenom Laplace-ove transformacije.

gde se kompleksna promenljiva  s=δ+jω  naziva kompleksna učestanost (frekvencija), a realni deo kompleksne promenljive s, Re{s}=δ, je izabran da obezbeđuje konvergenciju integrala. Laplace-ova transformacija definisana gornjim izrazom naziva se bilateralna ili dvostrana Laplace-ova transformacija. Dvostrana Laplace-ova transformacija koristi se za analizu elektroenergetskih sistema, kao i u izvesnim primenama u telekomunikacijama i obradi signala.

   Za analizu kauzalnih signala ( x(t) = 0 za t<0 ), koji se prenose i obrađuju linearnim vremenski-invarijantnim kauzalnim ( fizički ostvarljivim ), realnim sistemima, fundamentalnu ulogu ima unilateralna ili jednostrana Laplace-ova transformacija, koja je definisana sa izrazom:

  Ponekad se u literaturi unilateralna ( jednostrana ) Laplace-ova transformacija definiše kao:

 Na osnovu poznatog kompleksnog lika moguće je primenom inverzne Laplace-ove transformacije odrediti funkciju (original) u vremenskom domenu. Original funkcije F(s) u vremenskom domenu f(t) se određuje primenom sledećeg obrasca:

prethodna relacije se obično inverznom Laplace-ovom transformacijom, i zajedno sa relacijom:

definiše takozvane Laplace-ove transformacione parove. Činjenica da funkcije f(t) i F(s) zadovoljavaju ove dve relacije, se često u literaturi označava jednom od sledećih notacija:

formula inverzne Laplace-ove transformacije nam kaže da se signal f(t) može rekonstruisati na osnovu njegovog Laplace-ovog transformacionog para, međutim, sračunati ovaj integral je vrlo često ozbiljan posao i podrazumeva tzv. konturnu integraciju koja se izučava u teoriji funkcija kompleksnih varijabli. Ono što ćemo ovde napomenuti jeste da ukoliko funkcija F(s) postoji, tada se inverzna Laplace-ova transformacija mora računati po pravoj σ=const. ta prava mora pripadati oblasti konvergencije funkcije F(s), što znači da oblast konvergencije mora biti takva da u njoj postoji pojas konačne čirine i beskonačne dužine: σ₁ < Re{s} < σ_{2 .}

  Uopštem slučaju nalaženje inverzne Laplace-ove transformacije svodi se na primenu definicione formule, koja zahteva rešavanje  integrala po kompleksnoj učestanosti, a što predstavlja tehnički složen matematički zadatak. Rešavanje ovog problema zahteva poznavanje kompleksne analize, a u osnovi se svodi na rešavanje integrala kompleksne varijable po zatvorenoj konturi ( rešavanje krivolinijskih integrala ). Međutim, kada se radi o primeni teorije linearnih signala i sistema u elektrotehnici, tj. njenim različitim oblastima, kao što su automatika, elektronika, energetika, telekomunikacije, teorija električnih kola, obrada signala, inverzna Laplace-ova transformacija svih tipičnih signala od interesa može se alternativno odrediti primenom metodologije razvoja kompleksnog lika signala na parcijalne razlomke, uz korišćenje tablice Laplace-ove transformacije i primenu odgovarajućih osobina Uopštem slučaju nalaženje inverzne Laplace-ove transformacije svodi se na primenu definicione formule, koja zahteva rešavanje  integrala po kompleksnoj učestanosti, a što predstavljatehnički složen matematički zadatak. Rešavanjeovog problema zahteva poznavanje kompleksne analize, a u osnovi sesvodi na rešavanje integrala kompleksne varijable po zatvorenoj konturi( rešavanje krivolinijskih integrala ). Međutim, kada se radi o primeniteorije linearnih signala i sistema u elektrotehnici, tj. njenimrazličitim oblastima, kao što su automatika, elektronika, energetika,telekomunikacije, teorija električnih kola, obrada signala, inverznaLaplace-ova transformacija svih tipičnih signala od interesa može sealternativno odrediti metodologije razvoja kompleksnog lika signala naparcijalne razlomke, uz korišćenje tablice Laplaceove transformacijetipičnih parova i primenu odgovarajućih osobina Laplace-ovetransformacije.

  Metod razvoja kompleksnog lika signala (Laplace-ove transformacije) na parcijalne razlomke može se primeniti samo kod signala f(t) čiji je kompleksni lik striktno racionalna funkcija, tj. predstavlja količnik dva polinoma sa realnim koeficijentima:

i takva da je red polinoma u brojiocu m striktno manji od reda n polinoma u imeniocu A(s), tj. m<n. Kod mnogih realnih signala i sistema, njihova Laplace-ova transformacija ima oblik striktno racionalne funkcije. Međutim, u realnim situacijama je takođe česta pojava kompleksnog lika koji predstavlja racionalnu funkciju, kod koje je m=n, a takav kompleksan lik se obično označava samo kao racionalna funkcija. U tom slučaju, da bi se primenila tehnika razvoja na parcijalne razlomke, prvo je potrebno da se podele polinomi i u brojiocu i u imeniocu, a rezultat takvog deljenja je određena konstanta, dok će ostatak deljenja omogućiti da se iz takve racionalne funkcije izdvoji striktno racionalan deo.

  Koreni polinoma B(s) su nule, a koreni polinoma A(s) su polovi funkcije F(s). Za određivanje inverzne Laplace-ove transformacije su od posebnog značaja polovi funkcije F(s), i tu se mogu uočiti četiri karakteristična slučaja:

1. Svi polovi funkcije F(s) su realni i prosti;
2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, a realni su, ako postoje, prosti;
3. Funkcija F(s) ima višestruke realne korene;
4. Funkcija F(s) ima višestruke konjugovano kompleksne polove.